Евгений Леонов родился в Москве в семье Павла Васильевича и Анны Ильиничны Леоновых. Отец работал инженером на авиазаводе, мать была домохозяйкой. Евгений был вторым ребёнком в семье: брат Николай был старше его на два года. Леоновы жили в коммунальной квартире на Васильевской улице, занимая две небольшие комнаты. Когда началась Великая Отечественная война, Евгений окончил только седьмой класс. По совету родителей устроился учеником токаря на авиазавод. Во время войны там работала вся семья: отец — инженером, мать — инструментальщицей, брат — чертёжником-копировальщиком.

Осенью 1941 года Евгений поступил в Авиационный техникум им. Серго Орджоникидзе. На третьем курсе ушёл из техникума и поступил на драматическое отделение Московской экспериментальной театральной студии, которой руководил Ростислав Захаров, известный балетмейстер Большого театра. В 1947 году окончил студию и был принят в Московский театр Дзержинского района. С 1948 года выступал на сцене Театра им. Станиславского.

В 1954 году Леонов снялся в своей первой (не считая массовок) эпизодической роли в картине Владимира Немоляева «Морской охотник». Георгий Натансон — второй режиссёр, занимавшийся подбором актёров, заметил Леонова на сцене Театра им. Станиславского, где тот играл Лариосика в спектакле «Дни Турбиных», и предложил ему роль кока. Леонов согласился и был утверждён.

С 1968 года Леонов — актёр Театра им. Маяковского. На этой сцене он сыграл одну из лучших своих ролей — Ванюшина-отца в пьесе С. Найдёнова «Дети Ванюшина». В начале 1970-х у Леонова возникли разногласия с художественным руководителем театра Андреем Гончаровым, который прощал актёру частое отсутствие в театре из-за съёмок в кино, но не мог простить съёмки в рекламе; в 1974 году он перешёл в Театр им. Ленинского комсомола (с 1990 года — театр «Ленком»), который незадолго перед тем (в 1973 году) возглавил Марк Захаров. Среди лучших ролей, сыгранных в «Ленкоме», чеховский Иванов, Вожак в «Оптимистической трагедии» Вс. Вишневского и Тевье в «Поминальной молитве» — роль, за которую актёр был удостоен Государственной премии России

В 1982 году Леонов был избран общественным директором Центрального Дома актёра имени А. А. Яблочкиной.

Популярность Евгений Леонов приобрёл после выхода на экраны фильма «Полосатый рейс». Яркий и мягкий, комедийный характерный актёр большого обаяния, Леонов отличался непосредственностью и простодушной открытостью, был наделён и самобытным драматическим дарованием. Леонов очень органично перевоплощался в своих многочисленных добродушных, приятных, привлекательных героев, простоватых, с обаятельной хитрецой, даже несмотря на то, что многие роли актёра на поверку были явно отрицательные (Король в «Обыкновенном чуде», сосед Харитонов в «Осеннем марафоне», шофёр Мишка Снегирёв в «Деле Румянцева», Уэф в «Кин-дза-дза», «Король» в «Совсем пропащем», сотрудник советского посольства в «Паспорте»).

В кинематографе Леонов практически не гримировался, даруя героям свою внешность — небольшой рост, полную мешковатую сутулую фигуру, круглое лицо с большим носом и толстыми губами, голову со значительной проплешиной. Глуховатый хриплый голос Леонова моментально узнаваем. Особой любовью многих поколений зрителей до сих пор продолжает пользоваться и его работа по озвучиванию мультфильмов (прежде всего, блистательно выполненная за кадром роль Винни-Пуха в серии лент 1969—1972 годов).

В 1988 году во время гастролей в Германии в результате обширного инфаркта пережил клиническую смерть. Перенёс экстренную операцию коронарного шунтирования. В коме находился 16 суток. Вернулся к актёрской деятельности через 4 месяца.

Евгений Павлович Леонов скончался 29 января 1994 года, на 68-м году жизни, после отрыва тромба, собираясь на спектакль «Поминальная молитва». Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 10).